В рамках постов о базовом экзамене и острого желания пополнения комментариев для тренажера, продолжаю разбирать вопросы. Сегодня продолжим начатую главу по финансовой математике. Если в предыдущих постах мы говорили о простом проценте и затрагивали сложный процент лишь терминологически, то сегодня будет практика. 

Я не хотел бы делать гигантские посты, в которых будет по 50 вопросов, потому что ориентироваться в них будет сложно. Всё-такие процесс обучения не должен быть лавинообразным. В общем, по чуть-чуть, полагаю будет эффективнее. Итак, начнём...



Код вопроса: 10.1.30

Вкладчик положил в банк 20 000 руб. Банк выплачивает 9% годовых. Проценты сложные. Какая сумма будет на счете у вкладчика через два года?

Ответы:

A. 21 200 руб.

B. 23 762 руб.

C. 24 335 руб.

D. 25 425 руб.

При расчете со сложным процентом, нужно использовать следующую формулу: FV = PV * (1 + r) ^ n, где r - ставка, n - период (год, квартал, скажем то, что повторяется), PV - первоначальная сумма, FV - будущая сумма.
Таким образом, учитываем условия задачи и получаем:

FV = PV * (1 + r) ^ n = 20000 * (1 + 0.09) ^ 2 = 23762



Код вопроса: 10.1.31

Вкладчик положил в банк 20 000 руб. Банк выплачивает 12% годовых. Проценты сложные. Какая сумма будет на счете у вкладчика через три года?

Ответы:

A. 23 333 руб.

B. 26 740 руб.

C. 28 099 руб.

D. 29 055 руб.

Всё тоже самое, что в примере выше:

FV = PV * (1 + r) ^ n = 20000 * (1 + 0.12) ^ 3 = 28098.56, округляем и получаем 28099



Код вопроса: 10.2.32

Вкладчик размещает в банке 2 000 руб. под 8% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете ежеквартально. Какая сумма денег получится на счете через 3 года?

Ответы:

A. 2 536,48 руб.

B. 2 519,42 руб.

C. 2 480 руб.

D. 2 590,06 руб.

Итак, 8% годовых, т.е. 2% в квартал. За 3 года у нас получается 12 кварталов. В нашей формуле n - это необязательно года, это период. Соотвественно выходит:

FV = PV * (1 + r) ^ n = 2000 * (1 + 0.02) ^ 12 = 2536.48359, округляем и получаем 2536.48



Код вопроса: 10.2.33

Банк предлагает три годичных депозита:

1) ставка 10% годовых, начисление процента по завершении года;
2) ставка 9.9%, капитализация процентов осуществляется ежеквартально;
3) ставка 9.8%, капитализация процентов осуществляется ежемесячно.

Определить, какой депозит следует выбрать инвестору, если он планирует разместить деньги в банке на один год.

Ответы:

A. Первый

B. Второй

C. Третий

D. Второй и третий

Давайте посчитаем...

1 вариант. 10% годовых, простой процент. Т.е. значит вложив 1000 рублей под 10 процентов, через год получим:
FV = PV * (1 + r) = 1000 * 1.1 = 1100

2 вариант. 9.9% ставка, так как капитализация процентов, то это формула сложного процента. Всего 4 квартала.
Считаем: FV = 1000 * (1 + 0.099 / 4) ^ 4 = 1102.73639

3 вариант. 9.8% ставка, так как капитализация процентов, то это формула сложного процента. Всего 12 месяцев.
Считаем: FV = 1000 * (1 + 0.098 / 12) ^ 12 = 1102.52389

Итого получается, что с небольшим перевесом, но всё же второй вариант самый оптимальный.

Если не понятно почему во втором и третьем варианте делили r на n, т.е. 0.099 / 4 и 0.098 / 12, то вспомним, что n - это период. А ставку указвают за год. Таким образом, нам нужно понимать, а каков процент за квартал (для второго варианта) или за месяц (для третьего варианта). Вот мы и разделили ставку на период.



Код вопроса: 10.2.34

Вкладчик размещает в банке 1 000 руб. на три года. Капитализация процентов осуществляется ежегодно. За первый год банк начисляет 10%, второй - 9%, третий - 8% годовых. Какая сумма денег получится на счете через 3 года?

Ответы:

A. 1 270 руб.

B. 1 294,92 руб.

C. 1 295,03 руб.

D. 1 259,71 руб.

В данном случае работает следущая, скажем так, модификация начальной формулы:

FV = PV * (1 + r1год) ^ n * (1 + r2год) ^ n * (1 + r3год) ^ n

, а учитывая, что n = 1, то:

FV = PV * (1 + r1год) * (1 + r2год) * (1 + r3год)

, т.е. по сути - мы наращиваем сумму каждый год на новый процент. И в итоге получается:

FV = 1000 * (1 + 0.1) * (1 + 0.09) * (1 + 0.08) = 1000 * 1.1 * 1.09 * 1.08 = 1294.92



Код вопроса: 10.1.35

Вкладчик положил в банк 10 000 руб. Банк выплачивает сложные проценты. Какая сумма будет на счете у вкладчика через два года, если процентная ставка за первый год составляет 20%, а за второй - 30%?

Ответы:

A. 13 200 руб.

B. 14 100 руб.

C. 15 600 руб.

D. 16 000 руб.

Тоже самое, как и в примере выше:

FV = PV * (1 + r1год) * (1 + r2год) = 10000 * (1 + 0.2) * (1 + 0.3) = 10000 * 1.2 * 1.3 = 15600



Код вопроса: 10.2.36

Вкладчик положил в банк 10 000 руб. Банк выплачивает сложные проценты. Какая сумма будет на счете у вкладчика через три года, если процентная ставка за первый год составляет 20%, за второй - 30%, за третий - 25%?

Ответы:

A. 19 500 руб.

B. 20 100 руб.

C. 21 000 руб.

D. 24 300 руб.

Тоже самое, как и в примере выше:

FV = PV * (1 + r1год) * (1 + r2год) * (1 + r3год) = 10000 * (1 + 0.2) * (1 + 0.3) * (1 + 0.25) = 10000 * 1.2 * 1.3 * 1.25 = 19500



Код вопроса: 10.2.37

В начале года вкладчик размещает в банке 2 000 руб. под 8% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов в конце каждого года. В течение года по счету начисляется простой процент. Какая сумма денег получится на счете через 3 года и 90 дней? База 365 дней.

Ответы:

A. 2 528,91 руб.

B. 2 640 руб.

C. 2 692,80 руб.

D. 2 569,12 руб.

Итак, в данной задаче совмещены простые и сложные проценты. В целом, сложности нет. Просто используем две формулы, вместо одной. Формула для простого процента FV = PV * (1 + n * r / b) пригодится для расчетов внутри года, а формула для сложного процента FV = PV * (1 + r) ^ n для периодичности.

Для начала считаем по сложному проценту, что будет через три года:

FV = PV * (1 + r) ^ n = 2000 * (1 + 0.08) ^ 3 = 2000 * 1.08 ^ 3 = 2519.424

Хорошо, теперь, учитывая что в течение года начисляется простой процент - посчитаем и его. Не забываем, что n = 90 (дней), а база b = 365.

FV = PV * (1 + n * r / b) = 2519.424 * (1 + 90 * 0.08 / 365) = 2000 * 1.08 ^ 3 = 2569.12223, т.е. округлив выходит 2569.12



Код вопроса: 10.2.38

За 30 дней до окончания года вкладчик размещает в банке 2 000 руб. под 8% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов в конце каждого года. В течение года по счету начисляется простой процент. Какая сумма денег получится на счете через 3 года и 120 дней? База 365 дней.

Ответы:

A. 2 586,02 руб.

B. 2 585,69 руб.

C. 2 586,61 руб.

D. 2 546,23 руб.

В данной задаче говорится о трёх периодах: 30 дней из первого года, затем 3 года, потом ещё 90 дней (120 дней - 30 дней из первого года). Значит считаем последовательно:

1. Вычисляем первый период по простому проценту:

FV = PV * (1 + n * r / b) = 2000 * (1 + 30 * 0.08 / 365) = 2013.15068

2. Считаем второй период по сложному проценту, где для PV используем полученное ранее значение:

FV = PV * (1 + r) ^ n = 2013.15068 * (1 + 0.08) ^ 3 = 2013.15068 * (1.08) ^ 3 = 2535.99007

3. И заканчивая используем снова простой процент, где снова PV как предыдущее значение:

FV = PV * (1 + n * r / b) = 2535.99007 * (1 + 90 * 0.08 / 365) = 2586.01508, округив получим 2586.02


Ради интереса, можно собрать всё в одну формулу: FV = PV * (1 + n * r / b) * ((1 + r) ^ n) * (1 + n * r / b) Если скучно, то можете попробовать упростить уравнение, но лучше не надо - запутаетесь, а толку от этого не много. Разбить на три периода и посчитать каждый последовательно - куда проще и к тому же легче запоминается.



Код вопроса: 10.1.39

Банк выплачивает 12% годовых. Проценты сложные. Какую минимальную сумму требуется разместить вкладчику в банке, чтобы через 2 года у него было не менее 10 000 руб.?

Ответы:

A. 5 555 руб.

B. 6 354 руб.

C. 7 972 руб.

D. 8 515 руб.

Возьмём нашу формулу и выведем из неё PV:

FV = PV * (1 + r) ^ n

PV = FV / (1 + r) ^ n 

Хорошо, тогда считаем:

PV = 10000 / (1 + 0.12) ^ 2 = 7971.93878, округляя получаем: 7972



Код вопроса: 10.2.40

Инвестор открывает в банке депозит на два года под 10% годовых, и хотел бы в конце периода получить по депозиту 10000 руб. Капитализация процентов производится ежеквартально. Какую сумму ему следует разместить сегодня на счете?

Ответы:

A. 8 264,46 руб.

B. 8 207,47 руб.

C. 8 227,03 руб.

D. 9 059,51 руб.

Для начала возьмём нашу формулу и выведем из неё PV:

FV = PV * (1 + r) ^ n

PV = FV / (1 + r) ^ n 


Хорошо. Теперь из условия задачи понимаем, что ставка делится на кварталы (в году их 4 конечно), т.е. выходит, что вместо r будем использовать r/4 Но у нас два года, что тогда? А тогда в степерь возводим не ^ n, а ^ n * 2, т.е. четыре квартала дважды. Итого, формула выходит такая:

PV = FV / (1 + r / 4) ^ 4 * 2

PV = 10000 / (1 + 0.1 / 4) ^ (4 * 2)

PV = 8207.46571, что округляя даёт нам 8207.47


Вот и всё. Как видите, ничего сложного нет. На днях (а может даже сегодня) продолжим. А пока, можно потренироваться.