Базовый экзамен ФСФР ответы


Продолжаем разбирать задачи базового экзамена для вас и нашего тренажера. Как помните, на повестке дня — начатая ранее глава по финансовой математике. Сегодняшние задачи включают две очень простые, но крайне интересные задачи, в которых есть сразу несколько способов их решения.

Это предпоследний пост по теме 10.1, поэтому как понимаете, осталось совсем немного. Задачи все простые, нужно только чуть подумать. Хотя с такими комментариями полагаю процесс запоминания очень упростится. Ладно, начнём, сегодня немного...


Код вопроса: 10.1.41

По окончании третьего года на счете инвестора находится сумма 21 074 руб. Начисление процентов происходило по схеме сложного процента по ставке 12% в конце каждого года. Рассчитайте первоначальную сумму вклада.

Ответы:

A. 14 480 руб.

B. 15 000 руб.

C. 15 500 руб.

D. 16 740 руб.

То есть нам известно FV, r, n, а нужно посчитать PV:

PV = FV / (1 + r) ^ n = 21074 / (1 + 0.12) ^ 3 = 15000.0569, округляем и получаем 15000



Код вопроса: 10.1.42

По окончании второго года на счете инвестора находится сумма 28 732 руб. Начисление процентов происходило по схеме сложного процента по ставке 13% в конце каждого года. Рассчитайте первоначальную сумму вклада.

Ответы:

A. 21 701 руб.

B. 22 000 руб.

C. 22 501 руб.

D. 22 803 руб.

Точно такая же задача, но с другими цифрами. Т.е. нам известно FV, r, n, а нужно посчитать PV:

PV = FV / (1 + r) ^ n = 28732 / (1 + 0.13) ^ 2 = 22501.3705, округляем и получаем 22501



Код вопроса: 10.1.43

По окончании четвертого года на счете инвестора находится сумма 36 600 руб. Начисление процентов происходило по схеме сложного процента по ставке 10% в конце каждого года. Рассчитайте первоначальную сумму вклада.

Ответы:

A. 25 тыс. руб.

B. 26 тыс. руб.

C. 27,5 тыс. руб.

D. 28 тыс. руб.

Ещё одна такая. Нам известно FV, r, n, а нужно посчитать PV:

PV = FV / (1 + r) ^ n = 36600 / (1 + 0.10) ^ 4 = 24998.2925, округляем и получаем 25000



Код вопроса: 10.1.44

По окончании второго года на счете инвестора находится сумма 32 542 руб. Начисление процентов происходило по схеме сложного процента по ставке 11% в конце каждого года. Рассчитайте первоначальную сумму вклада.

Ответы:

A. 26 000 руб.

B. 26 412 руб.

C. 26 674 руб.

D. 29 317 руб.

Снова одинаковая задача. В наличии FV, r, n, а нужно посчитать PV:

PV = FV / (1 + r) ^ n = 32542 / (1 + 0.11) ^ 2 = 26411.8172, округляем и получаем 26412



Код вопроса: 10.2.45

По окончании второго года на счете клиента банка находится сумма 13 685,7 руб. Начисление процентов в банке происходило по схеме сложного процента в конце каждого квартала по ставке 16% годовых. Рассчитайте первоначальную сумму вклада.

Ответы:

A. 9 000 руб.

B. 10 000 руб.

C. 11 000 руб.

D. 12 000 руб.

По количеству баллов сразу понятно, что задача немного усложнилась, но мы уже прорешивали схожую задачу. Итак, чтобы посчитать PV с учетом сложных процентов, обычно берём эту формулу:

PV = FV / (1 + r) ^ n


Но в данном случае у нас речь о годовых процентах и начислении в конце каждого квартала. Хорошо, тогда формула видоизменяется в такую:

PV = FV / (1 + r / 4) ^ 4 * n, где 4 - это количество кварталов в год. Т.е. мы разделили ставку на 4 части, а затем возвели в повторили процедуру по каждому кварталу на весь период, возведя в степень: кол-во кварталов * количество лет или периодов

Выходит, что:

PV = FV / (1 + r / 4) ^ 4 * n = 13685.7 / (1 + 0.16 / 4) ^ (4 * 2) = 10000.0069, т.е. округлённо 10000



Код вопроса: 10.2.46

Банк выплатил за первый год проценты по ставке Сбербанка, а за второй год - на 10% ниже, чем в Сбербанке. Проценты сложные. Какую минимальную сумму требовалось разместить вкладчику в банке, чтобы через 2 года его вклад был не менее 12 000 руб., если ставка Сбербанка все два года была равна 12% годовых?

Ответы:

A. 9 670 руб.

B. 9 875 руб.

C. 10 002 руб.

D. 10 114 руб.

Давайте разбираться... Первый год ставка была X. А во второй год X - 10%. Дальше нам говорят что было 2 года и FV был больше 12000, а также, что ставка была 12%. Ага. Ну теперь вроде всё есть:

PV = FV / ((1 + r) * (1 + r * 0.9))


Почему 0.9? Потому что "за второй год - на 10% ниже", т.е. значит ставка была 90% от общей. Теперь считаем:

PV = FV / ((1 + r) * (1 + r * 0.9)) = 12000 / ((1 + 0.12) * (1 + 0.12 * 0.9)) = 9669.93296, округлив получим: 9670



Код вопроса: 10.2.47

Банк выплатил за первый год проценты по ставке Сбербанка, а за второй год - на 20% выше, чем в Сбербанке. Проценты сложные. Какую минимальную сумму требовалось разместить вкладчику в банке, чтобы через 2 года его вклад был не менее 21 000 руб., если ставка Сбербанка все два года была равна 12% годовых?

Ответы:

A. 16 134 руб.

B. 16 390 руб.

C. 16 701 руб.

D. 17 015 руб.

Точно такая же задача, но с другими данными.

PV = FV / ((1 + r) * (1 + r * 1.2)) = 21000 / ((1 + 0.12) * (1 + 0.12 * 1.2)) = 16389.8601, округлив получим: 16390



Код вопроса: 10.1.48

Банк выплачивает сложные проценты. Вкладчик разместил в банке 15 000 руб. Сколько лет потребуется вкладчику для того, чтобы его вклад достиг 21 600 руб., если банк выплачивает 20% годовых?

Ответы:

A. 1 год

B. 1,5 года

C. 2 года

D. 3 года

Задачи, в которых нужно определить количество лет, решаются тремя путями: через логарифмы, подбор и если просто подумать. Через логарифмы просто запомнить, но сложно решить на обычном калькуляторе или в уме. Поэтому рекомендую пойти по школьному пути, просто перебирая правильные ответы. Но на всякий случай, покажу оба варианта.

1. через логарифмы

У нас есть следующая формула FV = PV * (1 + r) ^ n из которой выходит, что (1 + r) ^ n = FV / PV

Из которого выходит: n = log(1 + r; FV / PV) = log(1 + 0.2; 21600 / 15000) = log(1.2 ; 1.44) = 2

Через логарифмы вроде как всё легко, но увы, некоторые не умеют им пользоваться или могут запутаться в калькуляторе. В общем, использовать или нет - зависит от вас.


2. подбор

В задаче дают четыре варианта ответов. По сути, имея только ставку и начальную сумму, нам нужно найти то FV, которое будет близкое к указанному в задаче, перебирая при этом срок, т.е. n. Итак, нам известна основная формула

FV = PV * (1 + r) ^ n

, а значит можно пробовать:

В первом варианте 1 год, проверяем: 15600 * 1.2 ^ 1 = 18720. Близко к нашему FV? Совсем не очень.

Второй вариант 1.5 года, проверяем: 15600 * 1.2 ^ 1.5 = 20506. Тоже не подходит, у нас FV = 21600, а значит вкладчик недополучит нужные средства.

Третий вариант 2 года, проверяем: 15600 * 1.2 ^ 2 = 22464. Т.е. уже получается, что вкладчик точно получит больше 21600. Проверим ещё четвертый вариант

Четвертый вариант 3 года, проверяем: 15600 * 1.2 ^ 3 = 26956. Здесь уже значительно больше, можно было даже не проверять.

Вот и выходит, что 2 года - самый правильный вариант.



3. логика

Вот смотрите, у нас есть формула FV = PV * (1 + r) ^ n из которой выходит, что (1 + r) ^ n = FV / PV Давайте подставим значения и посмотрим что выйдет:

(1 + 0.2) ^ n = 21600 / 15000

1.2 ^ n = 1.44

Теперь нам нужно ответить на простой вопрос: в какую степень нужно возвести 1.2 чтобы получить 1.44? Или 12 в 144. Из школьной математики возможно помните, что это 2. Но если не помните, то попробуйте вывести корень из 144, он тоже будет 2. Вот и всё :)



Какой вариант выбирать - дело конечно ваше. Мне предпочтительнее третий вариант, но просто потому что хорошо помню со школы всякие там 9 ^ 2 = 81, 15 ^ 2 = 225 и т.д. Есть конечно четвертый вариант - это просто запомнить ответ. Таких задач - всего две, поэтому можете просто запомнить два варианта ответа и всё. :) 



Код вопроса: 10.1.49

Банк выплачивает сложные проценты. Вкладчик разместил в банке 15 000 руб. Сколько лет потребуется вкладчику для того, чтобы его вклад достиг 41 160 руб., если банк выплачивает 40% годовых?

Ответы:

A. 1,5 года

B. 2 года

C. 2,5 года

D. 3 года

Выше разобрал очень подробно, поэтому возьму промежуточный, скажем так:

(1 + r) ^ n = FV / PV
(1 + 0.4) ^ n = 41160 / 15000
1.4 ^ n = 2.74400

1.4 ^ 1.5 = 1.65, это не равно 2.74400 значит не походит
1.4 ^ 2 = 1.96, это тоже не походит
1.4 ^ 2.5 = 2.31, снова не походит
1.4 ^ 3 = 2.74400, теперь подошло

Правильный ответ: n = 3


Вот и всё. Закончу эту тему наверное завтра, пока не уверен. Ну а сейчас - можете потренироваться.